BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Sub bidang Matematika Terapan di LPTK dirinci dalam lima mata kuliah, yaitu: Persamaan Diferensial, Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas, Komputer dan Pemrograman dengan Basic, Metode Numerik dan Matematika Diskrit (Ristono, 1999). Selanjutnya, Sufri (1997) mengatakan bahwa Persamaan Diferen­sial bukanlah merupakan hal yang asing bagi matematikawan, banyak fenomena alam yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial, seperti dalam ilmu matematika, kimia, fisika dan biologi.

Dalam teori persamaan diferensial, masalah utama yang dihadapi adalah mengetahui adanya penyelesaian persamaan diferensial (adanya suatu fungsi terdiferensialkan dan memenuhi persamaan diferensial). Oleh karena itu, diperlu­kan teorema yang menjamin adanya suatu penyelesaian (Siswanto, 1997).

Persamaan diferensial eksak yang merupakan bagian dari persamaan diferensial memiliki penyelesaian sebagai berikut:

1. F(x, y) = + = c

Pilih sebarang titik (x_0, y₀) secara bijaksana pada daerah dimana fungsi-fungsi M, N, turunan-turunan parsial M_y dan N_y kontinu. Titik (x_0, y₀) diperoleh secara bijaksana, tetapi hal tersebut tidaklah mudah (Finizio dan Ladas, 1988).

2. Pengelompokan

Menyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengelompokkan kembali suku-sukunya, harus diketahui bahwa masing-masing kelompok adalah diferensial total dari suatu fungsi (Ayres, 1981).

3. F(x, y) = + c(y)

c(y) = (Ross, 1984)

Dari ketiga cara penyelesaian persamaan diferensial eksak, cara ketiga merupakan cara yang sistematik (Finizio dan Ladas, 1988). Ditambahkan Ross (1984), cara ketiga merupakan cara yang standar dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak.

Penyelesaian persamaan diferensial eksak dengan menggunakan rumus standar F(x,y)=+ c(y) atau F(x,y) = + c(x). Jika dikaji dari langkah-langkah pengerjaan­nya, maka peneliti tertarik agar rumus penyelesaian persamaan diferensial eksak disederhana­kan sehingga langkah-langkah pe­nyelesai­an soal-soal persamaan diferensial eksak lebih sederhana.

Eksistensi suatu rumus untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak merupakan hal yang esensial untuk dibuktikan dan dijelaskan. Bagi yang awam tentang matematika, persoalan ini bukan merupakan pemikiran bagi mereka, artinya mereka hanya menggunakan hasil penyederhanaan tersebut tanpa pernah muncul pertanyaan dalam pikirannya mengapa penyelesaian itu caranya berbeda. Sementara bagi orang matematika hal tersebut harus dapat dibuktikan dan dijelaskan.

Berdasarkan uraian-uraian yang telah dipaparkan, peneliti akan mengadakan penelitian dengan judul: Penyederhanaan penyelesaian persamaan diferensial eksak.

Batasan Masalah

Pada penelitian ini pembahasan diferensial eksak dibatasi yaitu:

1.     Persamaan diferensial tingkat satu dan derajat satu untuk dua variabel dengan bentuk umum persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

2.     = M(x, y), = N(x, y) dan =

3.     Rumus penyelesaiannya adalah F(x, y)=+ c(y) atau

F(x, y) = + c(x)

1.     Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah, peneliti merumuskan masalah sebagai berikut:

Bagaimana cara menyederhanakan rumus F(x,y) = + c(y) dan
F(x,y) = + c(x), sehingga c(y) = + c dan c(x) = + c.

2.     Tujuan Penelitian

Pada prinsipnya penelitian ini berusaha untuk menjawab masalah-masalah yang dipaparkan pada latar belakang dan rumusan masalah yaitu untuk menyeder­hanakan penyelesaian persamaan diferensial eksak.

3.     Manfaat Hasil Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai berikut:

1.     Dari peneliti, manfaat yang dapat diambil adalah untuk mengembangkan pengetahuan yang ada pada peneliti.

2.     Dalam kaitannya dengan pengembangan pendidikan tinggi di Indonesia, penelitian ini diharapkan dapat memberikan tinjauan baru dalam teori persamaan diferensial eksak.

3.     Informasi yang diberikan dalam penelitian ini akan membuka peluang di­adakan penelitian lebih lanjut dengan melibatkan bentuk-bentuk persamaan diferensial yang lain.