MAKALAH MATEMATIKA

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Sub bidang Matematika Terapan di LPTK dirinci dalam lima mata kuliah, yaitu: Persamaan Diferensial, Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas, Komputer dan Pemrograman dengan Basic, Metode Numerik dan Matematika Diskrit (Ristono, 1999). Selanjutnya, Sufri (1997) mengatakan bahwa Persamaan Diferen­sial bukanlah merupakan hal yang asing bagi matematikawan, banyak fenomena alam yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial, seperti dalam ilmu matematika, kimia, fisika dan biologi.

Dalam teori persamaan diferensial, masalah utama yang dihadapi adalah mengetahui adanya penyelesaian persamaan diferensial (adanya suatu fungsi terdiferensialkan dan memenuhi persamaan diferensial). Oleh karena itu, diperlu­kan teorema yang menjamin adanya suatu penyelesaian (Siswanto, 1997).

Persamaan diferensial eksak yang merupakan bagian dari persamaan diferensial memiliki penyelesaian sebagai berikut:

1. F(x, y) = + = c

Pilih sebarang titik (x_0, y₀) secara bijaksana pada daerah dimana fungsi-fungsi M, N, turunan-turunan parsial M_y dan N_y kontinu. Titik (x_0, y₀) diperoleh secara bijaksana, tetapi hal tersebut tidaklah mudah (Finizio dan Ladas, 1988).

2. Pengelompokan

Menyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengelompokkan kembali suku-sukunya, harus diketahui bahwa masing-masing kelompok adalah diferensial total dari suatu fungsi (Ayres, 1981).

3. F(x, y) = + c(y)

c(y) = (Ross, 1984)

Dari ketiga cara penyelesaian persamaan diferensial eksak, cara ketiga merupakan cara yang sistematik (Finizio dan Ladas, 1988). Ditambahkan Ross (1984), cara ketiga merupakan cara yang standar dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak.

Penyelesaian persamaan diferensial eksak dengan menggunakan rumus standar F(x,y)=+ c(y) atau F(x,y) = + c(x). Jika dikaji dari langkah-langkah pengerjaan­nya, maka peneliti tertarik agar rumus penyelesaian persamaan diferensial eksak disederhana­kan sehingga langkah-langkah pe­nyelesai­an soal-soal persamaan diferensial eksak lebih sederhana.

Eksistensi suatu rumus untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak merupakan hal yang esensial untuk dibuktikan dan dijelaskan. Bagi yang awam tentang matematika, persoalan ini bukan merupakan pemikiran bagi mereka, artinya mereka hanya menggunakan hasil penyederhanaan tersebut tanpa pernah muncul pertanyaan dalam pikirannya mengapa penyelesaian itu caranya berbeda. Sementara bagi orang matematika hal tersebut harus dapat dibuktikan dan dijelaskan.

Berdasarkan uraian-uraian yang telah dipaparkan, peneliti akan mengadakan penelitian dengan judul: Penyederhanaan penyelesaian persamaan diferensial eksak.

Batasan Masalah

Pada penelitian ini pembahasan diferensial eksak dibatasi yaitu:

1.     Persamaan diferensial tingkat satu dan derajat satu untuk dua variabel dengan bentuk umum persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

2.     = M(x, y), = N(x, y) dan =

3.     Rumus penyelesaiannya adalah F(x, y)=+ c(y) atau

F(x, y) = + c(x)

1.     Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah, peneliti merumuskan masalah sebagai berikut:

Bagaimana cara menyederhanakan rumus F(x,y) = + c(y) dan
F(x,y) = + c(x), sehingga c(y) = + c dan c(x) = + c.

2.     Tujuan Penelitian

Pada prinsipnya penelitian ini berusaha untuk menjawab masalah-masalah yang dipaparkan pada latar belakang dan rumusan masalah yaitu untuk menyeder­hanakan penyelesaian persamaan diferensial eksak.

3.     Manfaat Hasil Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai berikut:

1.     Dari peneliti, manfaat yang dapat diambil adalah untuk mengembangkan pengetahuan yang ada pada peneliti.

2.     Dalam kaitannya dengan pengembangan pendidikan tinggi di Indonesia, penelitian ini diharapkan dapat memberikan tinjauan baru dalam teori persamaan diferensial eksak.

3.     Informasi yang diberikan dalam penelitian ini akan membuka peluang di­adakan penelitian lebih lanjut dengan melibatkan bentuk-bentuk persamaan diferensial yang lain

BAB II

ISI

Persamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah Persamaan suatu fungsi matematika yang memiliki satu variabel atau lebih, dimana fungsi tersebut saling berhubungan antara fungsi itu sendiri dan turunanya. Selain dalam matematika diskrit, Persamaan diferensial ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya baik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya

         Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang saling berhubungan, nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . 

        Hal ini kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digambarkan oleh posisi dan kecepatan yang dipengaruhi oleh waktu. Hukum Newton memungkinkan seseorang (mengingat posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk menyatakan variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan diferensial (disebut persamaan gerak) dapat dipecahkan Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.

         Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.

        Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.

          Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. 

Persamaan tersebut mempunyai bentuk :

dx/dt = ax - axy

dy/dt = -cy+ °xy

Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi menurut : 

1. Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 =ex adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. 

Penerapan persamaan diferensial pada kehidupan sehari-hari dan Matematika diskrit

          Dalam penerapanya Persamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pencarian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh Persamaan diferensial ini adalah Ilmu Fisika misal dalam hukum newton, Percepatan dan Kecepatan, Perhitungan Radio Nuklir dan masih banyak lagi.